Andréi Andréyevich Márkov (Андре́й Андре́евич Ма́рков) (14 de junio de 1856 - 20 de julio de 1922) fue un matemático ruso conocido por sus trabajos en la teoría de los números y la teoría de probabilidades.
Márkov nació en Riazán, Rusia. Antes de los 10 años su padre, un funcionario estatal, fue trasladado a San Petersburgo
donde Andréi entró a estudiar en un instituto de la ciudad. Desde el
principio mostró cierto talento para las matemáticas y cuando se graduó
en 1874 ya conocía a varios matemáticos de la Universidad de San Petersburgo, donde ingresó tras su graduación. En la Universidad fue discípulo de Chebyshov y tras realizar sus tesis de maestría y doctorado, en 1886 accedió como adjunto a la Academia de Ciencias de San Petersburgo a propuesta del propio Chebyshov. Diez años después Márkov había ganado el puesto de académico regular. Desde 1880,
tras defender su tesis de maestría, Márkov impartió clases en la
Universidad y, cuando el propio Chebyshov dejó la Universidad tres años
después, fue Márkov quien le sustituyó en los cursos de teoría de la probabilidad. En 1905,
tras 25 años de actividad académica, Márkov se retiró definitivamente
de la Universidad, aunque siguió impartiendo algunos cursos sobre teoría
de la probabilidad.
A parte de su perfil académico, Andréi Márkov fue un convencido
activista político. Se opuso a los privilegios de la nobleza zarista y
llegó a rechazar las condecoraciones del propio zar
en protesta por algunas decisiones políticas relacionadas con la
Academia de Ciencias. Hasta tal punto llegó su implicación en la
política que llegó a ser conocido con el sobrenombre de "el académico
militante".
Márkov arrastró durante toda su vida problemas relacionados con una
malformación congénita en la rodilla que le llevaría varias veces al
quirófano y que, con el tiempo, fue la causa de su muerte cuando el 20 de julio del año 1922 una de las muchas operaciones a las que se sometió le produjo una infección generalizada de la que no pudo recuperarse.
Aunque Márkov influyó sobre diversos campos de las matemáticas, por
ejemplo en sus trabajos sobre fracciones continuas, la historia le
recordará principalmente por sus resultados relacionados con la teoría
de la probabilidad. En 1887 completó la prueba que permitía generalizar el teorema central del límite y que ya había avanzado Chebyshov. Pero su aportación más conocida es otra.
Su trabajo teórico en el campo de los procesos en los que están
involucrados componentes aleatorios (procesos estocásticos) darían fruto
en un instrumento matemático que actualmente se conoce como cadena de Márkov:
secuencias de valores de una variable aleatoria en las que el valor de
la variable en el futuro depende del valor de la variable en el
presente, pero es independiente de la historia de dicha variable. Las cadenas de Márkov,
hoy día, se consideran una herramienta esencial en disciplinas como la
economía, la ingeniería, la investigación de operaciones y muchas otras.
Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9i_M%C3%A1rkov
Investigacion de operaciones
martes, 15 de mayo de 2012
martes, 8 de mayo de 2012
EXAMEN
VARIABLES DE DECISION
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Xij: Cantidad de Kg. Que el
compartimiento i lleva del producto j.
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Y:
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1 Si va
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0 No va
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C1:
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X11+X12+X13+X14+X15<=2700Y1
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X21+X22+X23+X24+X25<=2800Y2
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X31+X32+X33+X34+X35<=1100Y3
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X41+X42+X43+X44+X45<=1800Y4
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X51+X52+X53+X54+X55<=3400Y5
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SUPER
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X11+X12+X13+X14+X15+ES<=2900
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ESCACEZ SUPER <=500
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NORMAL
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X21+X22+X23+X24+X25+ER<=4000
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ESCACEZNORMAL <=500
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SIN PLOMO
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X31+X32+X33+X34+X35+ESP<=4900
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ESCACEZ SIN PLOMO <=500
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C1:
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X11<=2700Y11
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X12<=2800Y12
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X13<=1100Y13
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X14<=1800Y14
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X15<=3400Y15
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MIN:
10S+8R+6SP+2700Y1+2800Y2+1100Y3+1800Y4+3400Y5
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EN LINGO SOLUCION MIN=10*ES+8*ER+6*ESP+500*y1+500*y2+500*y3; X13+X23+X33+X43+X53+ESP<=4900; X12+X22+X32+X42+X52+ER<=4000; X11+X21+X31+X41+X51+ES<=2900; X11+X12+X13<=2700; X21+X22+X23<=2800; X31+X32+X33<=1100; X41+X42+X43<=1800; X51+X52+X53<=3400; |
Global optimal solution found.
Objective value: 0.000000
Total solver iterations: 0
Variable Value Reduced Cost
ES 0.000000 10.00000
ER 0.000000 8.000000
ESP 0.000000 6.000000
Y1 0.000000 500.0000
Y2 0.000000 500.0000
Y3 0.000000 500.0000
X13 0.000000 0.000000
X23 0.000000 0.000000
X33 0.000000 0.000000
X43 0.000000 0.000000
X53 0.000000 0.000000
X12 0.000000 0.000000
X22 0.000000 0.000000
X32 0.000000 0.000000
X42 0.000000 0.000000
X52 0.000000 0.000000
X11 0.000000 0.000000
X21 0.000000 0.000000
X31 0.000000 0.000000
X41 0.000000 0.000000
X51 0.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 0.000000 -1.000000
2 4900.000 0.000000
3 4000.000 0.000000
4 2900.000 0.000000
5 2700.000 0.000000
6 2800.000 0.000000
7 1100.000 0.000000
8 1800.000 0.000000
9 3400.000 0.000000
martes, 1 de mayo de 2012
PROBLEMA 2 (P.E.B.)
Hardware Unlimited tiene cuatro maquinas que pueden producir cada una, tres tipos de tornillo, pequeños, medianos, grandes, con las siguientes tasas de producción (en lb de tornillos/min):
TAMAÑO DE TORNILLO
MAQUINA PEQUEÑO MEDIANO GRANDE
1 10 8 6
2 20 14 10
3 15 12 8
4 16 14 12
Cada maquina requiere una cantidad diferente de tiempo de preparación para producir los diferentes tipos de tornillos, como se presentan en la siguiente tabla (en minutos ):
TAMAÑO DE TORNILLO
MAQUINA PEQUEÑO MEDIANO GRANDE
1 20 30 40
2 30 40 50
3 15 20 30
4 45 45 45
Cada maquina debe prepararse para producir un solo tipo de tornillo por día. Si el margen de ganancia por libra de tornillo pequeño es de $1.25, de tornillo mediano es de $1.75 y de tornillo grande es de $2.00, formule un modelo para determinar que maquina debe ser preparada para producir qué tipo de tornillo, de modo que se maximice la ganancia neta obtenible en una jornada de ocho horas (que debe incluir tiempos de preparación).
SOLUCION:
DEFINICION DE VARIABLES:
Pi = 1 si la maquina i es equipada para tornillos Pequeños
0 en cualquier otro caso
Mi = 1 si la maquina i es equipada para tornillos Medianos
0 en cualquier otro caso
Gi = 1 si la maquina i es equipada para tornillos Grandes
0 en cualquier otro caso
FUNCION OBJETIVO:
MAX:
10*1,25*(480-20)P1 + 20*1,25*(480-30)P2 + 15*1,25*(480-15)P3 + 16*1,25*(480-45)P4 + 8*1,75*(480-30)M1 + 14*1,75*(480-40)M2 + 12*1,75*(480-20)M3 + 14*1,75*(480-45)M4 + 6*2*(480-40)G1 + 10*2*(480-50)G2 + 8*2*(480-30)G3 + 12*2*(480-45)G4
Simplificando:
5750P1 + 11250P2 + 8718.75P3 + 8700P4 + 6300M1 + 10780M2 +
9660M3 + 10657.5M4 + 5280G1 + 8600G2 + 7200G3 + 10440G4
RESTRICCIONES DE ASIGNACIÓN DE MÁQUINAS:
P1 + M1 + G1 <= 1 (Asignación de maquinas 1 cuando más de una vez)
P2 + M2 + G2 <= 1 (Asignación de maquinas 2 cuando más de una vez)
P3 + M3 + G3 <= 1 (Asignación de maquinas 3 cuando más de una vez)
P4 + M4 + G4 <= 1 (Asignación de maquinas 4 cuando más de una vez)
RESTRICCIONES LÓGICAS:
P1 , P2 , P3 , P4 ,
MI , M2 , M3 , M4
G1 , G2 , G3 , G4 = 0 ó 1
SOLUCION EN LINDO:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 8
OBJECTIVE VALUE = 37867.5000
NEW INTEGER SOLUTION OF 37867.5000 AT BRANCH 0 PIVOT 8
RE-INSTALLING BEST SOLUTION...
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
Z) 37867.50
VARIABLE VALUE REDUCED COST
P1 0.000000 -5750.000000
P2 1.000000 -11250.000000
P3 0.000000 -8718.750000
P4 0.000000 -8700.000000
M1 1.000000 -6300.000000
M2 0.000000 -10780.000000
M3 1.000000 -9660.000000
M4 1.000000 -10657.500000
G1 0.000000 -5280.000000
G2 0.000000 -8600.000000
G3 0.000000 -7200.000000
G4 0.000000 -10440.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 0.000000
3) 0.000000 0.000000
4) 0.000000 0.000000
5) 0.000000 0.000000
NO. ITERATIONS= 8
BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0
RESULTADOS:
•La ganacia neta obtenida es de 37867.5000
•
•La máquina 1 producira tornillo pequeños
•La máquina 2 producira tornillo medianos
•La máquina 3 producira tornillo medianos
•La máquina 4 producira tornillo medianos
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